0x01 代码

#include 
#include 
using namespace std;// 定义二维坐标点结构体
struct Point {double x;double y;
};// 计算三阶贝塞尔曲线上某个参数t对应的点坐标
Point getBezierPoint(vector& controlPoints, double t) {double x = pow((1 - t), 3) * controlPoints[0].x + 3 * t * pow((1 - t), 2) * controlPoints[1].x +3 * pow(t, 2) * (1 - t) * controlPoints[2].x +pow(t, 3) * controlPoints[3].x;double y = pow((1 - t), 3) * controlPoints[0].y +3 * t * pow((1 - t), 2) * controlPoints[1].y +3 * pow(t, 2) * (1 - t) * controlPoints[2].y +pow(t, 3) * controlPoints[3].y;Point p = {x, y};return p;
}// 递归计算三阶贝塞尔曲线上的等间距点
void recursiveDivide(vector& controlPoints, double t0, double t1, vector& pointList, int& idx) {// 当参数范围小于1e-6时停止递归if ((t1 - t0) < 1e-6) {return;}// 计算参数区间的中点double tMid = (t0 + t1) / 2.0;// 计算中点对应的贝塞尔曲线上的坐标Point pMid = getBezierPoint(controlPoints, tMid);// 将中点添加到结果列表中pointList[idx++] = pMid;// 递归计算左右两段曲线上的等间距点recursiveDivide(controlPoints, t0, tMid, pointList, idx);recursiveDivide(controlPoints, tMid, t1, pointList, idx);
}int main() {// 定义控制点vector controlPoints = {{10, 10}, {50, 60}, {100, 30}, {150, 150}};// 定义采样个数int N = 10;// 计算初始和末尾点vector pointList(N + 1);pointList[0] = controlPoints.front();pointList[N] = controlPoints.back();// 递归计算曲线上的等间距点int idx = 1;recursiveDivide(controlPoints, 0.0, 1.0, pointList, idx);// 输出等间距的点容器for (auto& p : pointList) {cout << "(" << p.x << ", " << p.y << ")" << endl;}return 0;
}

这是一个 C++ 的程序，用于计算三阶贝塞尔曲线上等间距的点。程序在 main 函数中运行，包含以下步骤：

1. 定义四个控制点，并将它们存储在一个二维向量 controlPoints 中。
2. 定义需要采样的点数 N，并将采样结果存储在一个二维向量 pointList 中。
3. 调用递归函数 recursiveDivide 来计算贝塞尔曲线上的等间距点。该函数通过二分法的方式递归计算左右两个子区间的点，直到整个区间小于某个阈值。
4. 输出等间距的点容器 pointList 中的各个元素。

请注意，贝塞尔曲线是一种可描述平滑曲线的数学模型，三阶贝塞尔曲线由四个控制点确定。对于任意参数 t∈[0,1]t \in [0, 1]t∈[0,1]，三阶贝塞尔曲线上可以计算出对应的点坐标。本程序利用递归方式计算贝塞尔曲线上等间距的点坐标，主要涉及递归算法和贝塞尔曲线的基本原理。

0x02 公式

3阶贝塞尔曲线沿线长等距分割方法可以简述如下：

1. 计算曲线长度，即对参数 ttt 在 [0,1][0,1][0,1] 区间上积分 (dx/dt)2+(dy/dt)2\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}(dx/dt)2+(dy/dt)2​，其中 dx/dtdx/dtdx/dt 和 dy/dtdy/dtdy/dt 分别为贝塞尔曲线在 xxx 和 yyy 方向上的导数。
2. 根据总采样点数 NNN，计算出采样点的间隔 s=L/(N−1)s=L/(N-1)s=L/(N−1)，其中 LLL 为曲线长度。
3. 初始化采样点列表，包括起始点和终止点，并将起始点和终止点的参数值分别设为 t0=0t_0=0t0​=0 和 tN=1t_N=1tN​=1。
4. 对于 i∈[1,N−1]i \in [1,N-1]i∈[1,N−1]，计算参数值 tit_iti​ 使得从起点到第 iii 个采样点的长度为 i×si \times si×s，并计算对应的点坐标。

对于3阶贝塞尔曲线，上述分割方法稍加简化后的具体计算方式如下：

1. 计算曲线长度公式为：

L=∫01(dx/dt)2+(dy/dt)2dtL=\int_{0}^{1} \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} dt L=∫01​(dx/dt)2+(dy/dt)2​dt

其中 dx/dtdx/dtdx/dt 和 dy/dtdy/dtdy/dt 的计算公式如下：

dx/dt=3(1−t)2(x1−x0)+6t(1−t)(x2−x1)+3t2(x3−x2)dx/dt=3(1-t)^2(x_1-x_0)+6t(1-t)(x_2-x_1)+3t^2(x_3-x_2) dx/dt=3(1−t)2(x1​−x0​)+6t(1−t)(x2​−x1​)+3t2(x3​−x2​)

dy/dt=3(1−t)2(y1−y0)+6t(1−t)(y2−y1)+3t2(y3−y2)dy/dt=3(1-t)^2(y_1-y_0)+6t(1-t)(y_2-y_1)+3t^2(y_3-y_2) dy/dt=3(1−t)2(y1​−y0​)+6t(1−t)(y2​−y1​)+3t2(y3​−y2​)

其中 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)、(x1,y1)(x_1,y_1)(x1​,y1​)、(x2,y2)(x_2,y_2)(x2​,y2​)、(x3,y3)(x_3,y_3)(x3​,y3​) 为3阶贝塞尔曲线的4个控制点坐标。

2. 根据采样点数 NNN，计算出采样点的间隔 s=L/(N−1)s=L/(N-1)s=L/(N−1)。

3. 初始化采样点列表，包括起始点 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​) 和终止点 (x3,y3)(x_3,y_3)(x3​,y3​) 并将起始点和终止点的参数值分别设为 t0=0t_0=0t0​=0 和 tN=1t_N=1tN​=1。

4. 对于 i∈[1,N−1]i \in [1,N-1]i∈[1,N−1]，通过二分法计算出满足以下条件的 tit_iti​：

∫t0ti(dx/dt)2+(dy/dt)2dt=i×s\int_{t_0}^{t_i} \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} dt = i \times s∫t0​ti​​(dx/dt)2+(dy/dt)2​dt=i×s

其中 (dx/dt)2+(dy/dt)2\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}(dx/dt)2+(dy/dt)2​ 的计算公式如上。然后根据 tit_iti​ 计算出曲线上对应的点坐标，即 (xi,yi)(x_i,y_i)(xi​,yi​)。