奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1. 回顾特征值和特征向量

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：Ax=λxAx=\lambda xAx=λx

其中A是一个n×nn \times nn×n的矩阵，x是一个n维向量，则我们说λ\lambdaλ是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值λ\lambdaλ所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值λ1≤λ2≤...≤λn\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq ... \leq \lambda_nλ1​≤λ2​≤...≤λn​,以及这n个特征值所对应的特征向量{w1,w2,...wn}\{w_1,w_2,...w_n\}{w1​,w2​,...wn​}，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：A=WΣW−1A=W\Sigma W^{-1}A=WΣW−1

其中W是这n个特征向量所张成的n×nn \times nn×n维矩阵，而Σ\SigmaΣ为这n个特征值为主对角线的n×nn \times nn×n维矩阵。

一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足∣∣wi∣∣2=1||w_i||_2 =1∣∣wi​∣∣2​=1, 或者说wiTwi=1w_i^Tw_i =1wiT​wi​=1，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足WTW=IW^TW=IWTW=I，即WT=W−1W^T=W^{-1}WT=W−1, 也就是说W为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成A=WΣWTA=W\Sigma W^TA=WΣWT

注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×nm \times nm×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：A=UΣVTA = U\Sigma V^TA=UΣVT

其中U是一个m×mm \times mm×m的矩阵，Σ\SigmaΣ是一个m×nm \times nm×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个n×nn \times nn×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足UTU=I,VTV=IU^TU=I, V^TV=IUTU=I,VTV=I。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的U, Σ\SigmaΣ, V这三个矩阵呢？

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×nn \times nn×n的一个方阵ATAA^TAATA。既然ATAA^TAATA是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：(ATA)vi=λivi(A^TA)v_i = \lambda_i v_i(ATA)vi​=λi​vi​

这样我们就可以得到矩阵ATAA^TAATA的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将ATAA^TAATA的所有特征向量张成一个n×nn \times nn×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×mm \times mm×m的一个方阵AATAA^TAAT。既然AATAA^TAAT是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：(AAT)ui=λiui(AA^T)u_i = \lambda_i u_i(AAT)ui​=λi​ui​

这样我们就可以得到矩阵AATAA^TAAT的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将AATAA^TAAT的所有特征向量张成一个m×mm \times mm×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ\SigmaΣ没有求出了。由于Σ\SigmaΣ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ\sigmaσ就可以了。

我们注意到:A=UΣVT⇒AV=UΣVTV⇒AV=UΣ⇒Avi=σiui⇒σi=AviuiA=U\Sigma V^T \Rightarrow AV=U\Sigma V^TV \Rightarrow AV=U\Sigma \Rightarrow Av_i = \sigma_i u_i \Rightarrow \sigma_i = \frac {Av_i} {u_i}A=UΣVT⇒AV=UΣVTV⇒AV=UΣ⇒Avi​=σi​ui​⇒σi​=ui​Avi​​

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ\SigmaΣ。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说ATAA^TAATA的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而AATAA^TAAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。A=UΣVT⇒AT=VΣUT⇒ATA=VΣUTUΣVT=VΣ2VTA=U\Sigma V^T \Rightarrow A^T=V\Sigma U^T \Rightarrow A^TA =V\Sigma U^TU\Sigma V^T = V\Sigma^2V^TA=UΣVT⇒AT=VΣUT⇒ATA=VΣUTUΣVT=VΣ2VT

上式证明使用了:UTU=I,ΣT=ΣU^TU=I, \Sigma^T=\SigmaUTU=I,ΣT=Σ。可以看出ATAA^TAATA的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到AATAA^TAAT的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：σi=λi\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}σi​=λi​​

这样也就是说，我们可以不用σi=Aviui\sigma_i =\frac {Av_i}{u_i}σi​=ui​Avi​​来计算奇异值，也可以通过求出ATAA^TAATA的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

A=(011110)\mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1&0 \end{array} \right)A=​011​110​​

我们首先求出ATAA^TAATA和AATAA^TAAT

ATA=(011110)(011110)=(2112)\mathbf{A^TA} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1 &1\\ 1&1&0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1&0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2& 1 \\ 1&2 \end{array} \right)ATA=(01​11​10​)​011​110​​=(21​12​)

AAT=(011110)(011110)=(110121011)\mathbf{AA^T} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1&0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0& 1 &1\\ 1&1&0 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} 1& 1 &0\\1& 2 &1\\ 0& 1&1 \end{array} \right)AAT=​011​110​​(01​11​10​)=​110​121​011​​

进而求出ATAA^TAATA的特征值和特征向量：λ1=3;v1=(1212);λ2=1;v2=(−1212)\lambda_1= 3; v_1 = \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{2}} \\ \frac {1} {\sqrt{2}}\end{array} \right); \lambda_2= 1; v_2 = \left( \begin{array}{ccc} \frac {-1}{\sqrt{2}} \\ \frac {1} {\sqrt{2}}\end{array} \right)λ1​=3;v1​=(2​1​2​1​​);λ2​=1;v2​=(2​−1​2​1​​)

接着求AATAA^TAAT的特征值和特征向量：

λ1=3;u1=(162616);λ2=1;u2=(120−12);λ3=0;u3=(13−1313)\lambda_1= 3; u_1 = \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{6}}\\ \frac {2} {\sqrt{6}} \\ \frac {1} {\sqrt{6}}\end{array} \right); \lambda_2= 1; u_2 = \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac {-1} {\sqrt{2}}\end{array} \right); \lambda_3= 0; u_3 = \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{3}} \\ \frac {-1} {\sqrt{3}}\\ \frac {1} {\sqrt{3}}\end{array} \right)λ1​=3;u1​=​6​1​6​2​6​1​​​;λ2​=1;u2​=​2​1​02​−1​​​;λ3​=0;u3​=​3​1​3​−1​3​1​​​

利用Avi=σiui,i=1,2Av_i = \sigma_i u_i, i=1,2Avi​=σi​ui​,i=1,2求奇异值：

(011110)(1212)=σ1(162616)⇒σ1=3\left(\begin{array}{ccc} 0& 1\\1& 1\\ 1&0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{2}} \\ \frac {1} {\sqrt{2}}\end{array} \right) = \sigma_1 \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{6}} \\\frac {2} {\sqrt{6}} \\ \frac {1} {\sqrt{6}}\end{array} \right)\Rightarrow \sigma_1=\sqrt{3}​011​110​​(2​1​2​1​​)=σ1​​6​1​6​2​6​1​​​⇒σ1​=3​

(011110)(−1212)=σ2(120−12)⇒σ2=1\left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\1& 1\\1&0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \frac {-1} {\sqrt{2}}\\ \frac {1} {\sqrt{2}} \end{array} \right) = \sigma_2 \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac {-1} {\sqrt{2}}\end{array} \right)\Rightarrow \sigma_2=1​011​110​​(2​−1​2​1​​)=σ2​​2​1​02​−1​​​⇒σ2​=1

当然，我们也可以用σi=λi\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}σi​=λi​​直接求出奇异值为3\sqrt{3}3​和1.

最终得到A的奇异值分解为：A=UΣVT=(161213260−1316−1213)(300100)(1212−1212)A=U\Sigma V^T = \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{6}} & \frac {1} {\sqrt{2}} & \frac {1} {\sqrt{3}}\\\frac {2} {\sqrt{6}} & 0 & \frac {-1} {\sqrt{3}}\\ \frac {1} {\sqrt{6}} & \frac {-1} {\sqrt{2}} & \frac {1} {\sqrt{3}}\end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{2}}& \frac {1} {\sqrt{2}}\\ \frac {-1} {\sqrt{2}}& \frac {1} {\sqrt{2}}\end{array} \right)A=UΣVT=​6​1​6​2​6​1​​2​1​02​−1​​3​1​3​−1​3​1​​​​3​00​010​​(2​1​2​−1​​2​1​2​1​​)

4. SVD的一些性质

上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：Am×n=Um×mΣm×nVn×nT≈Um×kΣk×kVk×nTA_{m \times n} = U_{m \times m}\Sigma_{m \times n} V^T_{n \times n} \approx U_{m \times k}\Sigma_{k \times k}V^T_{k \times n}Am×n​=Um×m​Σm×n​Vn×nT​≈Um×k​Σk×k​Vk×nT​

其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵Um×k,Σk×k,Vk×nTU_{m \times k},\Sigma_{k \times k} ,V^T_{k \times n}Um×k​,Σk×k​,Vk×nT​来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵XTXX^TXXTX的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵XTXX^TXXTX，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵XTXX^TXXTX最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵XTXX^TXXTX，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是m×nm \times nm×n的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵XXTXX^TXXT最大的d个特征向量张成的m×dm\times dm×d维矩阵U，则我们如果进行如下处理：Xd×n′=Ud×mTXm×nX'_{d\times n} = U_{d \times m}^TX_{m \times n}Xd×n′​=Ud×mT​Xm×n​

可以得到一个d×nd \times nd×n的矩阵X‘,这个矩阵和我们原来的m×nm\times nm×n维样本矩阵X相比，行数从m减到了k，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。

6. SVD小结

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。