文章目录

• 常微分方程与差分方程
• • 初等积分法
  • • 可分离变量-齐次方程
    • • 可分离变量的微分方程
      • 零齐次微分方程
    • 一阶线性微分方程-伯努利方程
    • • 一阶线性微分方程
      • 伯努利方程
    • 全微分方程
    • 可降阶的二阶微分方程
    • • d2ydx2=f(x)\frac{d^2y}{dx^2}=f(x)dx2d2y​=f(x) 型的微分方程
      • d2ydx2=f(x,dydx)\frac{d^2y}{dx^2}=f(x,\,\frac{dy}{dx})dx2d2y​=f(x,dxdy​) 型的微分方程
      • d2ydx2=f(y,dydx)\frac{d^2y}{dx^2}=f(y,\,\frac{dy}{dx})dx2d2y​=f(y,dxdy​) 型的微分方程
  • 线性微分方程
  • • 线性微分方程解的一般理论
    • 二阶常系数齐次线性微分方程的解法
    • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

常微分方程与差分方程

微分方程（组）：在一个（组）方程中，如果未知量是一个（组）函数，并且该（组）方程中含有此未知函数的导数，这种方程称为微分方程（组）

• 常微分方程（组）：未知函数是单个自变量的函数（一元函数）
• 偏微分方程（组）：未知函数是两个或两个以上自变量的函数

初等积分法

初值条件：y∣x=x0=y0\left. y\right|_{x=x_0}=y_0y∣x=x0​​=y0​

可分离变量-齐次方程

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程：形如 dydx=φ(x)ψ(y)\frac{dy}{dx}=\varphi(x)\psi(y)dxdy​=φ(x)ψ(y) 的微分方程，需要讨论 ψ(y)\psi(y)ψ(y) 是否为 000 ：

(1) 设 ψ(y)≠0\psi(y)\not=0ψ(y)=0 ，那么可以直接两边分离变量得到：
dyψ(y)=φ(x)dx\frac{dy}{\psi(y)}=\varphi(x)dx ψ(y)dy​=φ(x)dx
两边分别不定积分，得到通解：
∫dyψ(y)=∫φ(x)dx+c\int \frac{dy}{\psi(y)}=\int \varphi(x)dx+c ∫ψ(y)dy​=∫φ(x)dx+c

(2) 若存在 y∗y^*y∗ 使得 ψ(y∗)=0\psi(y^*)=0ψ(y∗)=0 ，则 y=y∗y=y^*y=y∗ 也是该微分方程的一个解

例：求方程 dydx=1+x+y2+xy2\frac{dy}{dx}=1+x+y^2+xy^2dxdy​=1+x+y2+xy2 满足 y∣x=−1=1\left. y \right|_{x=-1}=1y∣x=−1​=1 的特解

因式分解并分离变量，得到：
dydx=(1+x)(1+y2)⇒dy1+y2=(1+x)dx\frac{dy}{dx}=(1+x)(1+y^2)\Rightarrow\frac{dy}{1+y^2}=(1+x)dx dxdy​=(1+x)(1+y2)⇒1+y2dy​=(1+x)dx
两边积分，得到：
arctan⁡y=12(1+x)2+c\arctan{y}=\frac{1}{2}(1+x)^2+c arctany=21​(1+x)2+c
带入初值条件，得到 c=π4c=\frac{\pi}{4}c=4π​ ；且不存在 y∗y^*y∗ 使得 (1+y∗)2=0(1+y^*)^2=0(1+y∗)2=0 ，从而得到特解 y=tan⁡(π4+12(1+x)2)y=\tan{(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}(1+x)^2)}y=tan(4π​+21​(1+x)2)

零齐次微分方程

零齐次微分方程：简称齐次方程，形如 dydx=g(yx)\frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x})dxdy​=g(xy​) （这里的齐次意思是 xxx 和 yyy 的次数是一样的）

变量替换，令 u=yxu=\frac{y}{x}u=xy​ ，即 y=uxy=uxy=ux ，则两边对 xxx 求微分得到：
dydx=xdudx+u\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u dxdy​=xdxdu​+u
带入原齐次方程，可分离变量，得到：
xdudx+u=g(u)⇒dug(u)−u=dxxx\frac{du}{dx}+u=g(u) \Rightarrow \frac{du}{g(u)-u}=\frac{dx}{x} xdxdu​+u=g(u)⇒g(u)−udu​=xdx​
(1) 若 g(u)−u≠0g(u)-u\not=0g(u)−u=0 ，则两边积分，得到：
∫dug(u)−u=ln⁡∣cx∣\int\frac{du}{g(u)-u}=\ln{|cx|} ∫g(u)−udu​=ln∣cx∣
积分以后，再把 u=yxu=\frac{y}{x}u=xy​ 带入，得到通解

(2) 若存在 u0u_0u0​ 使得 g(u0)−u0=0g(u_0)-u_0=0g(u0​)−u0​=0 ，则 y=u0xy=u_0xy=u0​x 也是一个解

(3) 若 g(u)−u≡0g(u)-u\equiv0g(u)−u≡0 ，则 y=cxy=cxy=cx 是一个通解

例：设 y<0y\lt 0y<0 ，求 ydx−(x−x2+y2)dy=0ydx-(x-\sqrt{x^2+y^2})dy=0ydx−(x−x2+y2​)dy=0 满足 y∣x=0=−1\left. y \right|_{x=0}=-1y∣x=0​=−1 的特解

写成标准形式，发现右边是齐次的：
dydx=yx−x2+y2\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x-\sqrt{x^2+y^2}} dxdy​=x−x2+y2​y​
如果直接令 u=yxu=\frac{y}{x}u=xy​ ，会发现计算量比较大，我们可以令 v=xyv=\frac{x}{y}v=yx​ ，有：
dxdy=x−x2+y2y⇒ydvdy+v=v−v2+1⇒dv1+v2=dyy\frac{dx}{dy}=\frac{x-\sqrt{x^2+y^2}}{y}\Rightarrow y\frac{dv}{dy}+v=v-\sqrt{v^2+1} \Rightarrow \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}}=\frac{dy}{y} dydx​=yx−x2+y2​​⇒ydydv​+v=v−v2+1​⇒1+v2​dv​=ydy​
两边积分，并且有 y<0y\lt 0y<0 ，得到：
ln⁡(v+1+v2)=ln⁡(−y)+ln⁡c(c>0)\ln(v+\sqrt{1+v^2})=\ln(-y)+\ln{c}\quad (c\gt 0) ln(v+1+v2​)=ln(−y)+lnc(c>0)

再代回 v=xyv=\frac{x}{y}v=yx​ ，得到：
y=−1c1−2cx(c>0)y=-\frac{1}{c}\sqrt{1-2cx}\quad (c\gt 0) y=−c1​1−2cx​(c>0)
再由初值条件 y∣x=0=−1\left. y \right|_{x=0}=-1y∣x=0​=−1 带入，得 c=1c=1c=1 ；在这种情况下，g(v)−v≠0g(v)-v\not=0g(v)−v=0 ，故得到特解：
y=−1−2xy=-\sqrt{1-2x} y=−1−2x​

一阶线性微分方程-伯努利方程

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程：关于未知函数 yyy 及其导数 dydx\frac{dy}{dx}dxdy​ 是一次式的一阶微分方程，一般形式是 dydx+p(x)y=f(x)\frac{dy}{dx}+p(x)y=f(x)dxdy​+p(x)y=f(x) ；

• 当 f(x)≡0f(x)\equiv 0f(x)≡0 时，称为一阶齐次线性方程；

• 当 f(x)≢0f(x)\not\equiv 0f(x)≡0 时，称为一阶非齐次线性方程；

（这里是否齐次和前面的零齐次微分方程的齐次不一样，这里的齐次是等号右边恒为 0）

(1) 齐次线性方程：可分离变量，得到：
dyy=−p(x)dx\frac{dy}{y}=-p(x)dx ydy​=−p(x)dx
两边积分，得到：（这样处理常数 ccc 是为了让后边的式子更好看）
ln⁡∣y∣=−∫p(x)dx+ln⁡∣c∣\ln{|y|}=-\int p(x)\,dx+\ln|c| ln∣y∣=−∫p(x)dx+ln∣c∣
得到：
y=ce−∫p(x)dxy=ce^{-\int p(x)\,dx} y=ce−∫p(x)dx
(2) 非齐次线性方程：采用常数变易法，假设 y=ue−∫p(x)dxy=ue^{-\int p(x)\,dx}y=ue−∫p(x)dx ，其中 u=u(x)u=u(x)u=u(x) 是一个待定函数；两边对 xxx 求导得到：
dydx=e−∫p(x)dxdudx−ue−∫p(x)dxp(x)\frac{dy}{dx}=e^{-\int p(x)\,dx}\frac{du}{dx}-ue^{-\int p(x)\,dx}p(x) dxdy​=e−∫p(x)dxdxdu​−ue−∫p(x)dxp(x)
将上述式子以及 y=ue−∫p(x)dxy=ue^{-\int p(x)\,dx}y=ue−∫p(x)dx 代入原式，得到：
(e−∫p(x)dxdudx−ue−∫p(x)dxp(x))+p(x)ue−∫p(x)dx=f(x)⇒e−∫p(x)dxdudx=f(x)(e^{-\int p(x)\,dx}\frac{du}{dx}-ue^{-\int p(x)\,dx}p(x))+p(x)ue^{-\int p(x)\,dx}=f(x) \Rightarrow e^{-\int p(x)\,dx}\frac{du}{dx}=f(x) (e−∫p(x)dxdxdu​−ue−∫p(x)dxp(x))+p(x)ue−∫p(x)dx=f(x)⇒e−∫p(x)dxdxdu​=f(x)
可以分离变量，得到：
du=f(x)e∫p(x)dxdxdu=f(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx du=f(x)e∫p(x)dxdx
两边对 xxx 积分，得到：
u=∫f(x)e∫p(x)dxdx+cu=\int f(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+c u=∫f(x)e∫p(x)dxdx+c
这样我们就找到了 u(x)u(x)u(x) ，再代回 y=ue−∫p(x)dxy=ue^{-\int p(x)\,dx}y=ue−∫p(x)dx 得到通解：
y=e−∫p(x)dx[∫f(x)e∫p(x)dxdx+c]y=e^{-\int p(x)\,dx}\left[\int f(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+c \right] y=e−∫p(x)dx[∫f(x)e∫p(x)dxdx+c]
可以看成两项：如果 Y(x)Y(x)Y(x) 是对应齐次方程的通解，y∗(x)y^*(x)y∗(x) 是该非齐次方程的任意一个解，则 y=Y(x)+y∗(x)y=Y(x)+y^*(x)y=Y(x)+y∗(x) 是该非齐次方程的通解

例：解方程 dydx−ycot⁡x=2xsin⁡x\frac{dy}{dx}-y\cot x=2x\sin xdxdy​−ycotx=2xsinx ，初值条件 y∣x=π2=0\left. y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=0y∣x=2π​​=0 .

方法一：常数变易法，先解对应的齐次线性方程，可以分离变量：
dydx−ycot⁡x=0⇒dyy=cot⁡xdx\frac{dy}{dx}-y\cot x=0 \Rightarrow \frac{dy}{y}=\cot x \,dx dxdy​−ycotx=0⇒ydy​=cotxdx
两边积分，得到：
ln⁡∣y∣=ln⁡∣sin⁡x∣+ln⁡∣c∣⇒y=csin⁡x\ln |y| = \ln |\sin x| + \ln|c| \Rightarrow y=c\sin x ln∣y∣=ln∣sinx∣+ln∣c∣⇒y=csinx
变易常数 ccc ，令 y=usin⁡xy=u\sin xy=usinx ，两边对 xxx 求微分得到：
dydx=sin⁡xdudx+ucos⁡x\frac{dy}{dx}=\sin x\frac{du}{dx} + u\cos x dxdy​=sinxdxdu​+ucosx
代入原方程，得到：
sin⁡xdudx+ucos⁡x−usin⁡xcot⁡x=2xsin⁡x⇒du=2xdx⇒u=x2+c\sin x\frac{du}{dx} + u\cos x - u\sin x\cot x=2x\sin x \Rightarrow du=2x\,dx \Rightarrow u=x^2+c sinxdxdu​+ucosx−usinxcotx=2xsinx⇒du=2xdx⇒u=x2+c
代回 y=usin⁡xy=u\sin xy=usinx ，从而得到原方程的通解：y=(x2+c)sin⁡xy=(x^2+c)\sin xy=(x2+c)sinx ；又由初值条件 y∣x=π2=0\left. y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=0y∣x=2π​​=0 解得 c=−π24c=-\frac{\pi^2}{4}c=−4π2​ ，于是所求得的解为：
y=(x2−π24)sin⁡xy=(x^2-\frac{\pi^2}{4})\sin x y=(x2−4π2​)sinx
方法二：代入公式，得到：
y=e∫cot⁡xdx[∫2xsin⁡xe−∫cot⁡xdxdx+c]y=e^{\int \cot x\,dx}\left[ \int 2x\sin x e^{-\int \cot x\,dx}\,dx+c \right] y=e∫cotxdx[∫2xsinxe−∫cotxdxdx+c]
因为给定的原方程有 cot⁡x\cot xcotx ，又要包含 x=π2x=\frac{\pi}{2}x=2π​ ，因此 0 y=∣sin⁡x∣(∫2xsin⁡x1∣sin⁡x∣dx+c)⇒y=sin⁡x(x2+c)y=|\sin x|(\int2x\,\sin x\, \frac{1}{|\sin x|}\,dx+c) \Rightarrow y=\sin x(x^2+c) y=∣sinx∣(∫2xsinx∣sinx∣1​dx+c)⇒y=sinx(x2+c)

伯努利方程

伯努利方程：形如 dydx+p(x)y=f(x)yn\frac{dy}{dx} + p(x)y=f(x)y^ndxdy​+p(x)y=f(x)yn ，n≠0,1n\not=0,\,1n=0,1 的方程称为伯努利方程；

• 当 n=0n=0n=0 时，就是一阶非齐次线性微分方程；
• 当 n=1n=1n=1 时，就是一阶齐次线性方程；
• nnn 为其他值时，也可以化为线性方程：

两边除以 yny^nyn 得到：
y−ndydx+p(x)y1−n=f(x)y^{-n}\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}=f(x) y−ndxdy​+p(x)y1−n=f(x)
引入新变量 z=y1−nz=y^{1-n}z=y1−n ，两边对 xxx 求微分得到：
dzdx=(1−n)y−ndydx\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} dxdz​=(1−n)y−ndxdy​
代入原方程，得到：
dzdx+zp(x)(1−n)=f(x)(1−n)\frac{dz}{dx}+zp(x)(1-n)=f(x)(1-n) dxdz​+zp(x)(1−n)=f(x)(1−n)
就变成了一个关于 zzz 的一阶齐次方程

注意：当 n>0n\gt 0n>0 时，显然 y=0y=0y=0 是方程的一个解

例：求解方程 (x2+y)dy−2xydx=0(x^2+y)\,dy-2xy\,dx=0(x2+y)dy−2xydx=0 .

将 xxx 看作未知函数，yyy 看作自变量，可以得到：
dxdy=x2y+12x\frac{dx}{dy}=\frac{x}{2y}+\frac{1}{2x} dydx​=2yx​+2x1​
这里 n=−1n=-1n=−1 ，所以令 z=x2z=x^2z=x2 ，得到：
dzdy−zy=1\frac{dz}{dy}-\frac{z}{y}=1 dydz​−yz​=1
代入一阶非齐次线性微分方程公式得到：
x2=z=e∫1ydy[∫e−∫1ydx+c]=y(ln⁡∣y∣+c)x^2=z=e^{\int \frac{1}{y}\,dy}\left[ \int e^{-\int \frac{1}{y}\,dx}+c \right]=y(\ln |y|+c) x2=z=e∫y1​dy[∫e−∫y1​dx+c]=y(ln∣y∣+c)
这里 y=0y=0y=0 也是该方程的一个平凡解

全微分方程

常用的几个公式：
ydx+xdy=d(xy)ydx−xdyy2=d(xy)−ydx+xdyx2=d(yx)−ydx+xdyx2+y2=d(arctan⁡yx)ydx−xdyx2−y2=d(12ln⁡∣x−yx+y∣)\begin{align} y\,dx+x\,dy=&\,d(xy) \\ \frac{y\,dx-x\,dy}{y^2}=&\,d(\frac{x}{y}) \\ \frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2}=&\,d(\frac{y}{x}) \\ \frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}=&\,d(\arctan {y}{x}) \\ \frac{y\,dx-x\,dy}{x^2-y^2}=&\,d\left( \frac{1}{2}\ln\left| \frac{x-y}{x+y} \right| \right) \end{align} ydx+xdy=y2ydx−xdy​=x2−ydx+xdy​=x2+y2−ydx+xdy​=x2−y2ydx−xdy​=​d(xy)d(yx​)d(xy​)d(arctanyx)d(21​ln​x+yx−y​​)​​

可降阶的二阶微分方程

一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理原则为降阶。这里讨论几种形式较为特殊的二阶微分方程，它们经过适当的变换可以降为一阶微分方程。

d2ydx2=f(x)\frac{d^2y}{dx^2}=f(x)dx2d2y​=f(x) 型的微分方程

直接积分两次：
dydx=∫f(x)dx+c1y=∫[∫f(x)dx+c1]dx+c2=∫[∫f(x)dx]dx+c1x+c2\begin{align} \frac{dy}{dx} = &\, \int f(x)\,dx+c_1 \\ y=&\, \int \left[ \int f(x)\,dx+c_1 \right]\, dx+c_2=\int \left[ \int f(x)\,dx \right]\, dx+c_1x+c_2 \end{align} dxdy​=y=​∫f(x)dx+c1​∫[∫f(x)dx+c1​]dx+c2​=∫[∫f(x)dx]dx+c1​x+c2​​​
类似地，对于 nnn 阶微分方程 dnydxn=f(x)\frac{d^ny}{dx^n}=f(x)dxndny​=f(x) ，只需要积分 nnn 次就可以得到通解

例：解方程 d2ydx2=1cos⁡2x\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{\cos^2 x}dx2d2y​=cos2x1​ ，y∣x=π2=ln⁡22\left. y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=\frac{\ln 2}{2}y∣x=2π​​=2ln2​ ，dydx∣x=π4=1\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}=1dxdy​​x=4π​​=1 .

（因为存在二阶导，所以要有两个初值条件）

积分一次得到：
dydx=tan⁡x+c1\frac{dy}{dx}=\tan x + c_1 dxdy​=tanx+c1​
代入求得 c1=0c_1=0c1​=0 ；再次积分得到：
y=−ln⁡∣cos⁡x∣+c2y=-\ln |\cos x| + c_2 y=−ln∣cosx∣+c2​
代入求得 c2=0c_2=0c2​=0 ，因此所求得的特解为：
y=−ln⁡∣cos⁡x∣y=-\ln |\cos x| y=−ln∣cosx∣

d2ydx2=f(x,dydx)\frac{d^2y}{dx^2}=f(x,\,\frac{dy}{dx})dx2d2y​=f(x,dxdy​) 型的微分方程

这类方程的特点是不明显含有未知函数 yyy ，因此我们引入新变量 p=dydxp=\frac{dy}{dx}p=dxdy​ ，有 dpdx=d2ydx2\frac{dp}{dx}=\frac{d^2y}{dx^2}dxdp​=dx2d2y​ ，代入原方程得到：
dpdx=f(x,p)\frac{dp}{dx}=f(x,p) dxdp​=f(x,p)
如果这个能解出 ppp 来，那么积一次分就可以得到 yyy ；

类似地，对于 y(n)=f(x,y(n−1))y^{(n)}=f(x,\,y^{(n-1)})y(n)=f(x,y(n−1)) ，也可以假设 p=y(n−1)p=y^{(n-1)}p=y(n−1) ，代入求得 ppp 后，只需要对 ppp 积 n−1n-1n−1 次分就可以得到 yyy

例：求微分方程 y′′(x+y′2)=y′y''(x+y'^2)=y'y′′(x+y′2)=y′ ，满足初值条件 y(1)=y′(1)=1y(1)=y'(1)=1y(1)=y′(1)=1 的特解

令 p=y′p=y'p=y′ ，有 p′=y′′p'=y''p′=y′′ ，故：
p′(x+p2)=pp'(x+p^2)=p p′(x+p2)=p
你发现如果把 ppp 看作未知函数的话，px+p2\frac{p}{x+p^2}x+p2p​ 很难搞，那么可以反过来（这边的例题已经不知道用了多少次这个技巧了。。。）：
dxdp−xp=p⇒x=p(p+c1)\frac{dx}{dp}-\frac{x}{p}=p \Rightarrow x=p(p+c_1) dpdx​−px​=p⇒x=p(p+c1​)
由初值条件 y′(1)=p(1)=1y'(1)=p(1)=1y′(1)=p(1)=1 得到 c1=0c_1=0c1​=0 ；即：
dydx=x⇒dy=xdx\frac{dy}{dx}=\sqrt{x} \Rightarrow dy=\sqrt{x}\, dx dxdy​=x​⇒dy=x​dx
两边积分得到：
y=23x32+c2y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+c_2 y=32​x23​+c2​
代入初值条件 y(1)=1y(1)=1y(1)=1 得到 c2=13c_2=\frac{1}{3}c2​=31​ ，故求得的特解为：
y=23x32+13y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{3} y=32​x23​+31​
这里得到 x=p(p+c1)x=p(p+c_1)x=p(p+c1​) 有两种方法：一是直接代入一阶非齐次线性微分方程的公式，二是以下魔法操作：
p′(x+p2)=p⇒pdx−xdpp2=dp⇒d(xp−p)=0⇒xp−p=c1p'(x+p^2)=p \Rightarrow \frac{p\,dx-x\,dp}{p^2}=dp \Rightarrow d(\frac{x}{p}-p)=0 \Rightarrow \frac{x}{p}-p=c_1 p′(x+p2)=p⇒p2pdx−xdp​=dp⇒d(px​−p)=0⇒px​−p=c1​

d2ydx2=f(y,dydx)\frac{d^2y}{dx^2}=f(y,\,\frac{dy}{dx})dx2d2y​=f(y,dxdy​) 型的微分方程

这类方程的特点是不明显含有自变量 yyy ，因此我们将 yyy 暂时看作这类方程的变量，引入新变量 p=dydxp=\frac{dy}{dx}p=dxdy​ ，有：
d2ydx2=dpdx=dpdydydx=pdpdy\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy} dx2d2y​=dxdp​=dydp​dxdy​=pdydp​
代入原方程，得到：
pdpdy=f(y,p)p\frac{dp}{dy}=f(y,\,p) pdydp​=f(y,p)
成为了 ppp 关于 yyy 的一阶微分方程

类似地，对于不明显含自变量的高级方程，也可以用这种变换，求出 y(3)y^{(3)}y(3) ，y(4)⋯y^{(4)}\,\cdotsy(4)⋯ ，再把 yyy 看作自变量而把原方程降低一阶

例：求解方程 (dydx)2−yd2ydx2=0\left( \frac{dy}{dx} \right)^2-y\frac{d^2y}{dx^2}=0(dxdy​)2−ydx2d2y​=0

令 p=dydxp=\frac{dy}{dx}p=dxdy​ ，按以上方法代入得到：
p(p−ydpdy)=0p(p-y\frac{dp}{dy})=0 p(p−ydydp​)=0

• 若 p=0p=0p=0 ，则 y=c1y=c_1y=c1​
• 若 p≠0p\not=0p=0 ，则：

dpp=dyy\frac{dp}{p}=\frac{dy}{y} pdp​=ydy​

两边积分得到 p=c2yp=c_2yp=c2​y ，即 dydx=c2y\frac{dy}{dx}=c_2ydxdy​=c2​y ，再分离变量、积分，得到：
dyy=c2dx⇒y=c3ec2x\frac{dy}{y}=c_2\,dx \Rightarrow y=c_3e^{c_2x} ydy​=c2​dx⇒y=c3​ec2​x
因为 y=c3ec2xy=c_3e^{c_2x}y=c3​ec2​x 已经包含了 y=c1y=c_1y=c1​ ，所以通解为 y=c3ec2xy=c_3e^{c_2x}y=c3​ec2​x

线性微分方程

线性微分方程解的一般理论

线性微分方程：我们将未知函数 yyy 及其导数 dydx\frac{dy}{dx}dxdy​ ，d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}dx2d2y​ ⋯\cdots⋯ dnydxn\frac{d^ny}{dx^n}dxndny​ 是一次的 nnn 阶微分方程称为线性微分方程，一般形式是：
dnydxn+p1(x)dn−1ydxn−1+⋯+pn−1(x)dydx+pn(x)y=f(x)\frac{d^ny}{dx^n}+p_1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+p_{n-1}(x)\frac{dy}{dx}+p_n(x)y=f(x) dxndny​+p1​(x)dxn−1dn−1y​+⋯+pn−1​(x)dxdy​+pn​(x)y=f(x)
f(x)f(x)f(x) 称为自由项：

• 当 f(x)≡0f(x)\equiv 0f(x)≡0 时，称为齐次线性微分方程
• 当 f(x)≢0f(x)\not\equiv 0f(x)≡0 时，称为非齐次线性微分方程

线性相关：对于 nnn 个定义在区间 DDD 上的函数 y1y_1y1​ ，y2⋯y_2\,\cdotsy2​⋯ yny_nyn​ ，若存在一组常数 {ai}\{a_i\}{ai​} 使得：
a1y1(x)+a2y2(x)+⋯+anyn(x)≡0a_1y_1(x)+a_2y_2(x)+\cdots+a_ny_n(x)\equiv 0 a1​y1​(x)+a2​y2​(x)+⋯+an​yn​(x)≡0
则称这 nnn 个函数线性相关

Wronsky 行列式：判断齐次线性方程组的解是否线性相关，若 y1y_1y1​ ，y2⋯y_2\,\cdotsy2​⋯ yny_nyn​ 都是某齐次线性方程组的解，那么它们线性相关当且仅当：
w(x)=∣y1(x)y2(x)⋯yn(x)y1′(x)y2′(x)⋯yn′(x)⋮⋮⋱⋮y1(n−1)(x)y2(n−1)(x)⋯yn(n−1)(x)∣≡0x∈Dw(x)=\left| \begin{array}{cccc} y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_n(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x) & \cdots & y_n'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & \cdots & y_n^{(n-1)}(x) \\ \end{array}\right| \equiv 0 \quad x\in D w(x)=​y1​(x)y1′​(x)⋮y1(n−1)​(x)​y2​(x)y2′​(x)⋮y2(n−1)​(x)​⋯⋯⋱⋯​yn​(x)yn′​(x)⋮yn(n−1)​(x)​​≡0x∈D
之所以称为齐次线性，是因为齐次线性微分方程的解的线性组合也是解；非齐次线性微分方程的通解为 y=Y+y∗y=Y+y^*y=Y+y∗ ，其中 YYY 是其对应的齐次线性微分方程的通解，y∗y^*y∗ 是任意满足条件的特解。

（估计都用不上，所以这里只介绍二阶 + 常系数 的线性微分方程的解法）

二阶常系数齐次线性微分方程的解法

一般形式：
d2ydx2+pdydx+qy=0\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0 dx2d2y​+pdxdy​+qy=0
指数函数看起来可以满足这个方程，我们令 y=eλxy=e^{\lambda x}y=eλx ，带入得到特征方程：
λ2+pλ+q=0\lambda^2+p\lambda+q=0 λ2+pλ+q=0
(1) 特征方程有两个不相等的实根 λ1\lambda_1λ1​ 和 λ2\lambda_2λ2​ ，那么有两个线性无关的特解 y=eλ1xy=e^{\lambda_1 x}y=eλ1​x 和 y=eλ2xy=e^{\lambda_2 x}y=eλ2​x ，它们可以线性组合成该方程的通解：
y=c1eλ1x+c2eλ2xy=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x} y=c1​eλ1​x+c2​eλ2​x
(2) 特征方程有两个相等的实根 λ1=λ2\lambda_1=\lambda_2λ1​=λ2​ ，此时通解为：
y=(c1+c2x)eλ1xy=(c_1+c_2x)e^{\lambda_1 x} y=(c1​+c2​x)eλ1​x
(3) 特征方程有一对共轭复数根 λ1=α+iβ\lambda_1=\alpha+i\betaλ1​=α+iβ 和 λ2=α−iβ\lambda_2=\alpha-i\betaλ2​=α−iβ ，此时通解为：
y=(c1cos⁡βx+c2sin⁡βx)eαxy=(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x)e^{\alpha x} y=(c1​cosβx+c2​sinβx)eαx
可以总结为：
特征方程λ2+pλ+q=0的根微分方程d2ydx2+pdydx+qy=0的解有不相等的实根λ1≠λ2y=c1eλ1x+c2eλ2x有相等的实根λ1=λ2y=(c1+c2x)eλ1x有共轭复数根λ1=α+iβλ2=α−iβy=(c1cos⁡βx+c2sin⁡βx)eαx或y=Aeαxsin⁡(βx+φ)\begin{array}{l|c} \hline 特征方程 \lambda^2+p\lambda+q=0 的根 & 微分方程 \frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0 的解 \\ \hline 有不相等的实根\, \lambda_1\not=\lambda_2 & y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x} \\ 有相等的实根\, \lambda_1=\lambda_2 & y=(c_1+c_2x)e^{\lambda_1 x} \\ \begin{array}{r} 有共轭复数根\, \lambda_1=\alpha+i\beta \\ \lambda_2=\alpha-i\beta \end{array} & \begin{align} y=&\,(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x)e^{\alpha x} \\ 或\, y=&\,Ae^{\alpha x}\sin(\beta x+\varphi) \end{align} \\ \hline \end{array} 特征方程λ2+pλ+q=0的根有不相等的实根λ1​=λ2​有相等的实根λ1​=λ2​有共轭复数根λ1​=α+iβλ2​=α−iβ​​微分方程dx2d2y​+pdxdy​+qy=0的解y=c1​eλ1​x+c2​eλ2​xy=(c1​+c2​x)eλ1​xy=或y=​(c1​cosβx+c2​sinβx)eαxAeαxsin(βx+φ)​​​​

二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

已知对应齐次方程的解法，现在我们只需要求出任意一个解。这里讨论自由项常见的两种形式：

① f(x)=Pm(x)eαxf(x)=P_m(x)e^{\alpha x}f(x)=Pm​(x)eαx ，其中 Pm(x)P_m(x)Pm​(x) 是 mmm 次多项式

一般形式为：
d2ydx2+pdydx+qy=Pm(x)eαx\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=P_m(x)e^{\alpha x} dx2d2y​+pdxdy​+qy=Pm​(x)eαx
我们假设该方程具有这一形式的特解：y∗=Q(x)eαxy^*=Q(x)e^{\alpha x}y∗=Q(x)eαx ，代入得到：
d2Qdx2+(2α+p)dQdx+(α2+pα+q)Q=Pm(x)\frac{d^2Q}{dx^2}+(2\alpha+p)\frac{dQ}{dx}+(\alpha^2+p\alpha+q)Q=P_m(x) dx2d2Q​+(2α+p)dxdQ​+(α2+pα+q)Q=Pm​(x)
(1) α2+pα+q≠0\alpha^2+p\alpha+q\not=0α2+pα+q=0 ，即 α\alphaα 不是特征方程的根。那么 Q(x)Q(x)Q(x) 也应该是一个 mmm 次多项式，设为 Rm(x)R_m(x)Rm​(x) ；比较 R(m)R(m)R(m) 每一项的系数与 Pm(x)P_m(x)Pm​(x) 每一项的系数，就可以解出 Rm(x)R_m(x)Rm​(x) 来，此时的特解形如：
y∗=Rm(x)eαxy^*=R_m(x)e^{\alpha x} y∗=Rm​(x)eαx
(2) α2+pα+q=0\alpha^2+p\alpha+q=0α2+pα+q=0 ，而 2α+p≠02\alpha + p\not=02α+p=0 ，即 α\alphaα 是特征方程的单根，此时有：
d2Qdx2+(2α+p)dQdx=Pm(x)\frac{d^2Q}{dx^2}+(2\alpha+p)\frac{dQ}{dx}=P_m(x) dx2d2Q​+(2α+p)dxdQ​=Pm​(x)
这里 Q(x)Q(x)Q(x) 应该是一个 m+1m+1m+1 次的多项式，可令 Q(x)=xRm(x)Q(x)=xR_m(x)Q(x)=xRm​(x) （因为只需要求出某个特解来就可以了，所以简单起见可以假设 Q(x)Q(x)Q(x) 没有常数项），逐一比较每一项的系数，就可以求出 Rm(x)R_m(x)Rm​(x) 来，此时的特解形如：
y∗=xRm(x)eαxy^*=xR_m(x)e^{\alpha x} y∗=xRm​(x)eαx
(3) α2+pα+q=0\alpha^2+p\alpha+q=0α2+pα+q=0 ，且 2α+p=02\alpha + p=02α+p=0 ，即 α\alphaα 是特征方程的重根，此时有：
d2Qdx2=Pm(x)\frac{d^2Q}{dx^2}=P_m(x) dx2d2Q​=Pm​(x)
这里 Q(x)Q(x)Q(x) 应该是一个 m+2m+2m+2 次多项式，可令 Q(x)=x2Rm(x)Q(x)=x^2R_m(x)Q(x)=x2Rm​(x) （原理同上），逐一比较每一项的系数，就可以求出 Rm(x)R_m(x)Rm​(x) 来，此时的特解形如：
y∗=x2Rm(x)eαxy^*=x^2R_m(x)e^{\alpha x} y∗=x2Rm​(x)eαx
以上三种情况可以合并为：
y∗=xkRm(x)eαxy^*=x^kR_m(x)e^{\alpha x} y∗=xkRm​(x)eαx
其中 Rm(x)R_m(x)Rm​(x) 是待定系数的 mmm 次多项式， kkk 值为：
k={0当α不为特征根时1当α为单重特征根时2当α为二重特征根时k=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & 当\, \alpha \, 不为特征根时 \\ 1 & 当\, \alpha \, 为单重特征根时 \\ 2 & 当\, \alpha \, 为二重特征根时 \\ \end{array} \right. k=⎩⎨⎧​012​当α不为特征根时当α为单重特征根时当α为二重特征根时​
例：求解方程 d2ydx2+y=(x−2)e3x\frac{d^2y}{dx^2}+y=(x-2)e^{3x}dx2d2y​+y=(x−2)e3x

特征方程为 λ2+1=0\lambda^2+1=0λ2+1=0 ，解得 λ=±i\lambda=\pm iλ=±i ，因此对应的齐次方程的通解为：
Y=c1cos⁡x+c2sin⁡xY=c_1\cos x+c_2 \sin x Y=c1​cosx+c2​sinx
此时 α=3\alpha=3α=3 ，并不是特征根，因此假设 111 次多项式 Rm(x)=Ax+BR_m(x)=Ax+BRm​(x)=Ax+B ，代入得到：
(2×3)A+(32+1)(Ax+B)=x−1(2\times 3)A+(3^2+1)(Ax+B)=x-1 (2×3)A+(32+1)(Ax+B)=x−1
解得 A=110A=\frac{1}{10}A=101​ ，B=−1350B=-\frac{13}{50}B=−5013​ ，因此原方程的特解为 y∗=(110x−1350)e3xy^*=(\frac{1}{10}x-\frac{13}{50})e^{3x}y∗=(101​x−5013​)e3x ，通解为：
y=Y+y∗=c1cos⁡x+c2sin⁡x+(110x−1350)e3xy=Y+y^*=c_1\cos x+c_2\sin x+(\frac{1}{10}x-\frac{13}{50})e^{3x} y=Y+y∗=c1​cosx+c2​sinx+(101​x−5013​)e3x
② f(x)=Pm(x)eaxcos⁡bxf(x)=P_m(x)e^{a x}\cos bxf(x)=Pm​(x)eaxcosbx 或 f(x)=Ql(x)eαxsin⁡bxf(x)=Q_l(x)e^{\alpha x}\sin bxf(x)=Ql​(x)eαxsinbx 或 f(x)=Pm(x)eaxcos⁡bx+Ql(x)eaxsin⁡bxf(x)=P_m(x)e^{a x}\cos bx+Q_l(x)e^{a x}\sin bxf(x)=Pm​(x)eaxcosbx+Ql​(x)eaxsinbx

由欧拉公式知道，Pm(x)eaxcos⁡bxP_m(x)e^{a x}\cos bxPm​(x)eaxcosbx 是函数 Pm(x)e(a+bi)xP_m(x)e^{(a+bi)x}Pm​(x)e(a+bi)x 的实部，故考虑方程：
y′′+py′+qy=Pm(x)e(a+bi)xy''+py'+qy=P_m(x)e^{(a+bi)x} y′′+py′+qy=Pm​(x)e(a+bi)x
所以只要按方法 ① 求出该方程的解，并且求其实部，就可以得到原方程的解

同样，Ql(x)eaxsin⁡bxQ_l(x)e^{ax}\sin bxQl​(x)eaxsinbx 是函数 Ql(x)e(a+bi)xQ_l(x)e^{(a+bi)x}Ql​(x)e(a+bi)x 的虚部，故可考虑方程：
y′′+py′+qy=Ql(x)e(a+bi)xy''+py'+qy=Q_l(x)e^{(a+bi)x} y′′+py′+qy=Ql​(x)e(a+bi)x
按方法 ① 求出该方程的解，并且求其虚部，就可以得到原方程的解

对于 f(x)=Pm(x)eaxcos⁡bx+Ql(x)eaxsin⁡bxf(x)=P_{m}(x)e^{ax}\cos bx+Q_{l}(x)e^{ax}\sin bxf(x)=Pm​(x)eaxcosbx+Ql​(x)eaxsinbx ，当我们假设特解具有形式 y∗=xk(Rh(x)eaxcos⁡bx+Sh(x)eaxsin⁡bx)y^*=x^k(R_{h}(x)e^{ax}\cos bx+S_{h}(x)e^{ax}\sin bx)y∗=xk(Rh​(x)eaxcosbx+Sh​(x)eaxsinbx) 时，有：
h=max⁡{m,l}k={0当a±bi不是特征根1当a±bi是特征根h=\max\{m,\,l\} \quad\quad k=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & 当\, a\pm bi \, 不是特征根 \\ 1 & 当 \, a\pm bi \, 是特征根 \end{array} \right. h=max{m,l}k={01​当a±bi不是特征根当a±bi是特征根​
例：求方程 y′′+4y=2cos⁡2xy''+4y=2\cos 2xy′′+4y=2cos2x 满足初值条件 y∣x=0=0\left. y \right|_{x=0}=0y∣x=0​=0 ，y′∣x=0=2y'|_{x=0}=2y′∣x=0​=2 的特解

先解对应的齐次线性方程，特征方程为：
λ2+4=0⇒λ=±2i\lambda^{2}+4=0 \Rightarrow \lambda=\pm2i λ2+4=0⇒λ=±2i
因此齐次方程的通解为：
Y=c1cos⁡2x+c2sin⁡2xY=c_{1}\cos 2x + c_{2}\sin 2x Y=c1​cos2x+c2​sin2x
自由项里 0±2i0\pm 2i0±2i 正好是特征根，因此我们假设该非齐次方程的特解形如：
y∗=x(Acos⁡2x+Bsin⁡2x)y^*=x(A\cos 2x+B\sin 2x) y∗=x(Acos2x+Bsin2x)
代入原方程，得到：
4Bcos⁡2x−4Asin⁡2x=2cos⁡2x4B\cos 2x-4A\sin 2x=2\cos 2x 4Bcos2x−4Asin2x=2cos2x
解得 A=0A=0A=0 ，B=12B=\frac{1}{2}B=21​ ，特解 y∗=12xsin⁡2xy^*=\frac{1}{2}x\sin 2xy∗=21​xsin2x ，得到原方程的通解为：
y=Y+y∗=c1cos⁡2x+(12x+c2)sin⁡2xy=Y+y^*=c_{1}\cos 2x+(\frac{1}{2}x+c_{2})\sin 2x y=Y+y∗=c1​cos2x+(21​x+c2​)sin2x
代入两个初值条件，解得 c1=0c_{1}=0c1​=0 ，c2=1c_{2}=1c2​=1 ，故原方程满足初值条件的特解为：
y=(12x+1)sin⁡2xy=(\frac{1}{2}x+1)\sin 2x y=(21​x+1)sin2x