本篇文章给大家谈谈 旋转体的体积公式是什么? ，以及 平面图形绕y轴旋转一周产生另一旋转体,其体积为Vy=2π∫x|f(x)|dx这个公式怎样理解? 对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站喔。今天给各位分享 旋转体的体积公式是什么? 的知识，其中也会对 平面图形绕y轴旋转一周产生另一旋转体,其体积为Vy=2π∫x|f(x)|dx这个公式怎样理解? 进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

1、绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。2、绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。旋转体的体积等于上半部分旋转体体积的2倍 V=2∫（0,R)π［(x+b)^2-(-x+b)^2]dy =8bπ∫（0,R)xdy 令x=Rcosa,y=Rsina,(a∈［0,π／2])V=8b

旋转体的体积公式：v=(α+β+γ)。一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。体积，几何学专业术语。当物体占据的空间是三维空间时，所占空间的大小叫做该物体的体积。体积的国际单位制是立方米。一维

参数方程为x = (cost)^3，y = (sint)^3。由对称性可知，所求旋转体的体积V是第一象限内曲线和坐标轴所围成的图形绕x轴旋转一周形成旋转体体积V1的2倍。则可以得到：

旋转体的方程为 xx=(1-y)(1-y)。体积为y-1*y。

旋转体的体积公式是v=(α+β+γ)。当旋转体旋转轴 y=2a 正好位于摆线顶端，旋转体体积：V=∫π[4a²-(2a-y)²]dx，x积分区间是一个拱圈[0，2πa]；V=8π²a³-∫π(2a-a+acost)²*a(1-cost)dt,t=[0,2π]。V=8π²a³-πa³∫

旋转体的体积公式是什么?

得到：V = ∫π(sinx)^2dx (在0到π区间积分) = ∫π(1-cos2x)/2dx (在0到π区间积分) = 0.5π^2。即，给定函数，绕x轴旋转得到的旋转体体积为 0.5π^2。2、绕y轴旋转时，微体积 dV = π(2x)ydx，或者：dV = 2πxsinxdx，将dV在0到π之间对x做定积分。得到：V = ∫ 2

如果用积分来做的话，应该是上面的空的=∫(0,根号2a)·πx^2·dy =∫(0,根号2a)·π(y^2/2a)^2·dy =π（根号2a）^5/20a^2 =π（根号2a）/5 上半截圆柱的体积为（根号2a）·π·（1^2）=π·根号2a 所以D绕y轴旋转形成的旋转体的体积=4×[π·根号2a - π（根号2a）

若曲线方程为x = g(y)，y 的范围是 [c, d]，则绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积公式是：V = π * ∫[c,d] g^2(y) dy 在这个公式中，g(y)表示曲线在x轴上对应点的y轴坐标。通过计算曲线与旋转轴之间的距离的平方，然后对该平方距离沿y轴进行积分，得到旋转体的体积。这些公式可以用于

ex)dx＝e2?1（2）将旋转体体积看成是y=ex在x∈[1，e]这段曲线与y轴所围成平面图形绕y轴旋转得到的旋转体体积，与y=ex在x∈[1，e]这段曲线与y轴所围成平面图形绕x轴旋转得到的旋转体体积之差∴V＝13π?12?e?π∫e1(lny)2dy=πe3?π(lny)2|e1+π∫e12lnydy=?2πe3+2π[ylny

绕Oy轴旋转体体积 利用截面面积为S(x)的体积 曲面z=z(x,y)下域D上直体积柱

体积=(0→1)∫π[e^(2x)-e^(-4x)]dx=(0→1)∫π*e^(2x)dx-(0→1)∫π*e^(-4x)dx=π/2*e^(2x)丨(0→1）+π/4*e^(-4x)丨(0→1)=π*[(e^2)/2+1/4*e^(-4)-3/4]绕y轴时，两曲线写成x=lny和x=-1/2*lny。体积分成两部分 直线y=1以下部分 圆环面积=π[1

求d绕y轴旋转的旋转体体积

所以底面积π(x-a)^2，高是dy，把x=g(y)代进去，小圆柱体体积就是π（g(y)-a）^2dy。积分后，就得到从y1到y2区间内，旋转体体积∫(y1,y2)π（g(y)-a）^2dy。计算方法 体积公式是用于计算体积的公式，即计算各种几何体体积的数学算式。比如：圆柱、棱柱、锥体、台体、球、椭球等。体

V = ∫2π(x-a)f(x)dx 先找出曲线上一点(x,y)到直线的距离 比如直线x=a，这个距离为r=|x-a| 体积V=∫(起点->终点) πr^2dx=∫(起点->终点) π(x-a)^2 dx 注意：上面要把曲线中x和y的关系带进去，才能求出最后结果。

宽为dx的小矩形，把所有这些小矩形依次拼接起来就是长为圆环内周长，宽为dx的矩形），圆环内环周长当然是2πx，因此小圆环面积dS=2πx dx，于是体积微元dV=dS f(x)=2πx f(x) dx，对x积分，即得V=2π∫ x f(x) dx。（因公示不好打，省略了积分上下限a、b）

用guldin公式重心轨迹长为2π*2/3*r(θ)*sinθ，所以微元的面积dV=2/3*r(θ)三次方*sinθ积分即可。例如：r = a(1 + cosθ),绕极轴旋转，求体积 0 <= θ <= π.曲线上一点(θ,a(1 + cosθ)) 到极轴的距离的平方为 [a(1 + cosθ)sinθ]^2 当θ变化到(θ+dθ)时，点在

故所求旋转体体积 V = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ = (2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3sinθ dθ = -(2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3 d(1+cosθ)= -(π/6)a^3[(1+cosθ)^4]<0, π> = (8π/3)a^3

参数方程为x = (cost)^3，y = (sint)^3。由对称性可知，所求旋转体的体积V是第一象限内曲线和坐标轴所围成的图形绕x轴旋转一周形成旋转体体积V1的2倍。则可以得到：

1. 绕y轴旋转：若曲线方程为y = f(x)，x 的范围是 [a, b]，则绕 y 轴旋转产生的旋转体的体积公式是：V = π * ∫[a,b] f^2(x) dx 在这个公式中，f(x)表示曲线在y轴上对应点的x轴坐标。通过计算曲线与旋转轴之间的距离的平方，然后对该平方距离沿x轴进行积分，得到旋转体的体积。

旋转体积公式的推导。

圆环面积=π{(e^x)^2-[e^(-2x)]^2}=π[e^(2x)-e^(-4x)]，0≤x≤1 体积=(0→1)∫π[e^(2x)-e^(-4x)]dx=(0→1)∫π*e^(2x)dx-(0→1)∫π*e^(-4x)dx=π/2*e^(2x)丨(0→1）+π/4*e^(-4x)丨(0→1)=π*[(e^2)/2+1/4*e^(-4)-3/4]绕y轴时，

旋转体体积公式是V=π∫［a,b]f(x)^2dx。绕y轴旋转体积公式同理，将x,y互换即可，V=π∫［a,b]φ（y)^2dy。或许你说的是V=2π∫［a,b]y*f(y)dy,也是绕x轴旋转体积。旋转体的体积等于上半部分旋转体体积的2倍 V=2∫(0,R)π[(x+b)^2-(-x+b)^2]dy。=8bπ∫(0,R)xdy

V=Pi* S[x(y)]^2dy S表示积分 将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x 则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱 该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x 该圆环柱的高为f(x)所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx

前者是绕y轴形成的旋转体的体积公式 后者是绕x轴形成的旋转体的侧面积公式 或 V=Pi* S[x(y)]^2dy S表示积分 将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x 则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱 该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x 该圆环柱的高为f(x)所以当n

旋转体体积公式绕y轴：圆环面积=π[1-(lny)^2]=π[1-(lny)^2]，1≤y≤e，体积=(e→1)∫π[1-(lny)^2]dy=π，总体积=3π/2*[1-e^(-2)]。旋转体是一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面，该定直线叫做旋转体的轴，封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

旋转体体积公式绕y轴

一个是V=∫[a b] π*f(y)^2*dy 其中y=a,y=b；一个是V=∫[a b] 2πx*f(x)dx 其中x=a,x=b；前者是绕y轴形成的旋转体的体积公式 后者是绕x轴形成的旋转体的侧面积公式 或 V=Pi* S[x(y)]^2dy S表示积分 将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x 则函数绕y轴旋转，每一份的

公式的几何意义就是旋转体的体积，dV是体积元，表示dX长度的薄片的体积，dx就是离开轴的距离。

2πx，是在这一点的周长，2πxdx是圆环的面积，2πxdxf(x)是圆套的体积，积分后，就是旋转体的体积了

f(x)表示在x等于积分限区间上的曲线方程，2π是表示绕y轴转一周（即2π弧度）。定积分求出的就是上述一段曲线绕y轴旋转一周所包围的空间的体积。最简单的如求圆柱体的体积，它是f（x）=H（常数）在x轴上的0至R的区间一段和y轴、x=R、x轴包围的图形绕y轴一周形成的空间的体积，其积分式

平面图形绕y轴旋转一周产生另一旋转体,其体积为Vy=2π∫x|f(x)|dx这个公式怎样理解?

旋转体体积公式是V=π∫［a,b]f(x)^2dx。绕y轴旋转体积公式同理，将x,y互换即可，V=π∫［a,b]φ（y)^2dy。或许你说的是V=2π∫［a,b]y*f(y)dy,也是绕x轴旋转体积。旋转体的体积等于上半部分旋转体体积的2倍 V=2∫(0,R)π[(x+b)^2-(-x+b)^2]dy。=8bπ∫(0,R)xdy

V=Pi* S[x(y)]^2dy S表示积分 将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x 则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱 该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x 该圆环柱的高为f(x)所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx

您可能是听课没听全，或者老师只讲了关键部分。老师说是两种思路，第一种是底面积×高，第二种是截面积×展开后的长度。最后在积分，求得都是体积。

旋转体的体积为x=y^2，绕y轴旋转体的体积V1减去y=x^2绕y轴旋转体的体积V2。V1=π∫ydy，V2=π∫y^4dy积分区间为0到1，V1-V2=3π/10.注：函数x=f(y)绕y轴旋转体的体积为V=π∫f(y)^2dy。

旋转体体积公式绕y轴：圆环面积=π[1-(lny)^2]=π[1-(lny)^2]，1≤y≤e，体积=(e→1)∫π[1-(lny)^2]dy=π，总体积=3π/2*[1-e^(-2)]。旋转体是一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面，该定直线叫做旋转体的轴，封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

1. 绕y轴旋转：若曲线方程为y = f(x)，x 的范围是 [a, b]，则绕 y 轴旋转产生的旋转体的体积公式是：V = π * ∫[a,b] f^2(x) dx 在这个公式中，f(x)表示曲线在y轴上对应点的x轴坐标。通过计算曲线与旋转轴之间的距离的平方，然后对该平方距离沿x轴进行积分，得到旋转体的体积。

绕y轴旋转体体积公式两种是什么样的?

没有太多的使用限制。关键有两点： 第一、旋转轴两边都有曲线的时候，先要将旋转轴左边的那一部分镜像到右边，整合起来计算旋转部分。如下图，需要旋转的是右边红加绿的块。至于其曲线分段什么的，就得分段计算了。 第二、无论何时都要计算实际旋转的那一部分的高度。这个2πxf(x) dx的f(x)，不如改成H(x)。 因为在闭合曲线的时候，下部是空的。当然可以做成两部分的差的形式，随你了。
证明如下： 扩展资料： 求旋转体体积的步骤： 1、建立坐标系，构建旋转面和旋转轴； 2、观察旋转面的位置，常见旋转面为曲面三角形和曲边梯形； 3、看准题目中出现的旋转轴的位置：旋转轴一般为坐标轴； 4、从题中找出旋转面的曲边方程； 5、求出单个截面圆的面积方程，求定积分，得到体积。
一、公式不同： 绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。 绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。 二、含义不同： 是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。 绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。 （1）纬圆也可以看作垂直于旋转轴的平面与旋转曲面的交线。 （2）旋转曲面可由母线绕旋转轴旋转生成，也可以由纬圆族生成，轴则是纬圆族的连心线。 （3）任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。 绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。 或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。 绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。 历史 莱布尼茨于1675年以“omn.l”表示l的总和（积分（Integrals）），而omn为omnia（意即所有、全部）之缩写。 其后他又改写为∫，以“∫l”表示所有l的总和（Summa）。∫为字母s的拉长。此外，他又于1694年至1695年之间，于∫号后置一逗号，如 ∫,f(x)dx。至1698年，约翰·伯努利把逗号去掉，后更发展为现今之用法。 傅立叶是最先采用定积分符号（Signs for Definite Integrals）的人，1822年，他于《热的分析理论》内使用 图一的符号；同时G·普兰纳采用了图二的符号，而这符号很快便为数学界所接受，沿用至今。
先画图，求曲线交点是(1,1)，旋转完后，你想象一下做许多垂直于y轴的平行平面去截旋转体，得到的每个平面面积都是可求的，其实就是求平行截面为已知图形的物体体积。 作x轴平行线y=y0交原平面图行于两点，y0∈[0,1]则在这两点间的长度为2-y0-y02旋转后的面积为π(2-y0-y02)2 所以V=∫(0到1)π(2-y-y2)2dy=π∫(0到1)(4+y2+y^4-4y-4y2+2y3)dy=17π/10
将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x。 则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱。 该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x。 该圆环柱的高为f(x)。 所以当n趋向无穷大时，Vy=∫（2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。 几何学发展 几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。暂时的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。 定积分旋转体体积有三种方法，分别是套筒法、圆盘法和二重积分法，其中二重积分法几乎就是全能型的方法。 圆盘法 圆盘法，也是一样只不过不是绕Y轴旋转，而是绕X轴旋转，更像是车轮。那么我们不如就用轮胎举例，看下面的函数，取[x,x+dx]∈[a,b]绕X轴旋转，把微元部分想象成一个轮胎，轮胎的宽度为dx,半径为f(x)，所以这个轮胎的微元体积就是下面公式的积分上下限后面的部分。
旋转体体积公式是V=π∫［a,b]f(x)^2dx。 绕y轴旋转体积公式同理，将x,y互换即可，V=π∫［a,b]φ（y)^2dy。 或许你说的是V=2π∫［a,b]y*f(y)dy,也是绕x轴旋转体积。 体积计算方法 长方体，正方体和圆柱。 体积公式是用于计算体积的公式，即计算各种几何体体积的数学算式。比如：圆柱、棱柱、锥体、台体、球、椭球等。 体积公式：计算各种由平面和曲面所围成。 一般来说一个几何体是由面、交线（面与面相交处）、交点（交线的相交处或是曲面的收敛处）而构成的图形的体积的数学算式。

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